Некомерческое партнерство

Институт проблем города

8(423) 245-87-03

8(423) 245-39-99

8(423) 244-67-87

Еще раз о 6 стандартных функциях денег

Ю.В. Зеленский
сертифицированный специалист по оценке недвижимости в соответствии с EN ISO/IEC 17024, сертифицированный РОО оценщик недвижимости, заместитель директора НП "Институт проблем города", г. Владивосток

 

К стандартным функциям денег относят стандартные функции сложного процента для расчета денежных потоков:

  1. Будущая стоимость единицы
  2. Настоящая стоимость единицы
  3. Настоящая стоимость единичного аннуитета
  4. Взнос на амортизацию единицы
  5. Будущая стоимость единичного аннуитета
  6. Взнос на формирование фонда возмещения (фактор фонда возмещения)

Все функции сложного процента основаны на формуле для коэффициента будущей стоимости единицы. Основная идея этой формулы заключается в том, что процент за определенный период приносят все деньги, находящиеся на счете, в том числе и реинвестируемые на счет накопленные за период проценты.
ПРОБЛЕМАЕсли понимание и запоминание первых двух функций, как правило, не вызывает сложностей, то с остальными функциями дело обстоит хуже. Поэтому попытаемся представить структуру взаимосвязи функций в наглядном графическом виде.

Аннуитетом называется поток платежей одинакового размера, поступающих через равные промежутки времени. Период времени между двумя последовательными платежами является расчетным при начислении процентов. В зависимости от момента поступления первого платежа различают два типа потоков платежей – пренумерандо (первый платеж в начале первого периода) и постнумерандо (в конце). За счет более раннего поступления денежных средств и удлиненного на один период срока начисления процентов в случае пренумерандо можно достигнуть больших финансовых результатов по сравнению с потоком платежей, вносимых в конце периода
Рассмотрим вначале следующие 4 функции, когда платежи поступают в конце периода – постнумерандо

А теперь рассмотрим те же 4 функции, но уже когда платежи поступают в начале периода – пренумерандо
Настоящая стоимость единичного аннуитета

Отличия настоящей стоимости единичного аннуитета пренумерандо от постнумерандо в том, что добавляется единичный текущий платеж и исчезает платеж последнего периода. Тогда формулы расчета настоящей стоимости единичного аннуитета пренумерандо, а также связи между настоящей стоимости единичного аннуитета пренумерандо и постнумерандо выглядят следующим образом:

Взнос на амортизацию единицы

Будущая стоимость единичного аннуитета
Отличия будущей стоимости единичного аннуитета пренумерандо от постнумерандо в том, что добавляется единичный текущий платеж и исчезает платеж последнего периода. Тогда формулы расчета будущей стоимости единичного аннуитета пренумерандо, а также связи между будущей стоимостью единичного аннуитета пренумерандо и постнумерандо выглядят следующим образом:

Фактор фонда возмещения

Комментарий к выводу формул текущей и будущей стоимости аннуитета.

Текущая стоимость бессрочного аннуитета (вечной ренты при бесконечно большом сроке n) есть сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 1/(1+i), которая при i > 0 сходится

 

Формула текущей стоимости срочного аннуитета постнумерандо для конечного n выводится как разница текущей стоимостей двух бессрочных аннуитетов. Из текущей стоимости на момент времени 0 вечной ренты постнумерандо вычитается текущая стоимость такой же вечной ренты, начинающейся на n периодов позже. Вторая стоимость численно равна первой, но относится к моменту времени n, поэтому перед вычитанием её необходимо дисконтировать по той же ставке i на n периодов в прошлое.

 

Эквивалентная ей в конце срока будущая стоимость срочного аннуитета постумерандо

 

Все приведенные функции выражают равенства с точки зрения финансовой математики.

Например, что для банка выгоднее, чтобы кредит и проценты по нему погасили единовременно в конце кредитного периода или равномерными платежами в течение кредитного периода. Пусть кредит в размере 1000 рублей выдан на 3 года под 20% годовых?

Может показаться, что первый вариант более выгодный, т.к. получаемая банком сумма денег больше. На самом деле оба варианта с точки зрения финансовой математики эквивалентны друг другу и эквиваленты 1000 рублям сегодня. Ситуация такая же, как в математике 3+1=2+2, потому что оба выражения равны 4. Секрет в том, что полученные банком во втором случае периодические платежи могут быть тут же реинвестированы и, в итоге, накопленная к концу з года сумма будет та же, что и в первом варианте.

 

 

 

 

 

Рассмотрим еще пример. Пусть ожидаются к получению два разных денежных потока. Какой из них выгоднее при ставке дисконтирования 20%? А при ставке дисконтирования 10%.

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, надо помнить, что финансовое равенство двух денежных потоков не абсолютно – оно соблюдается при одной ставке дисконтирования, но нарушается при другой.